4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点,1.三角形的定义

 综合新闻     |      2019-11-22 07:01

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原标题:初中数学三角形专题知识点汇总,掌握了月考满分!

style="font-family: 华文楷体; font-size: x-large;">一.求两直线交点

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开学已经十多天了,初二的同学,三角形的知识掌握得怎么样呢,今天方法君整理的是三角形部分的知识点,一起回顾一下吧!

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1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)

1.三角形的定义

class Point {
    double x;
    double y;
    
    public Point() {
        this.x = 0;
        this.y = 0;
    }
}


class Line { Point a; Point b;
public Line() { this.a = new Point(); this.b = new Point(); } //求两直线的交点,斜率相同的话res=u.a Point intersection(Line u,Line v){ Point res = u.a; double t = ((u.a.x-v.a.x)(v.b.y-v.a.y)-(u.a.y-v.a.y)(v.b.x-v.a.x)) /((u.a.x-u.b.x)(v.b.y-v.a.y)-(u.a.y-u.b.y)(v.b.x-v.a.x)); res.x += (u.b.x-u.a.x)t; res.y += (u.b.y-u.a.y)t; return res; }

style="font-family: 华文楷体; font-size: x-large;">二.求三角形外心

        1. 垂心: 三角形三条边上的高相交于一点.这一点叫做三角形的垂心.

        2. 重心: 三角形三条边上的中线交于一点.这一点叫做三角形的重心.

        3. 外心: 三角形三边的中垂线交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心.

        4. 内心三角形三内角平分线交于一点.这一点为三角形内切圆的圆心.

        已知圆的3点,先求出3边长,由海伦公式得出面积S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) p=(a+b+c)/2;由三角形面积公式S=1/2*a*b*sin(C)和正弦定理a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=直径(根据相同弦长对应的圆周角相同可证正弦定理)可得直径=a*b*c/2/S。

        求圆心坐标。利用:G是⊿ABC外心的充要条件是(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.
这个性质的证明很容易的,只需要想到外心是中垂线交点即可,就可以证明这个性质了,利用向量可以避免求斜率,以及考虑斜率不存在等很多情况。

//三角形外接圆圆心(外心)
    Point center(Point a,Point b,Point c) {
        //加上这个才没有编译器提示未初始化,因为new所以也写了构造方法
        Line u = new Line(),v = new Line();
        u.a.x=(a.x+b.x)/2;
        u.a.y=(a.y+b.y)/2;
        u.b.x=u.a.x+(u.a.y-a.y);
        u.b.y=u.a.y-(u.a.x-a.x);
        v.a.x=(a.x+c.x)/2;
        v.a.y=(a.y+c.y)/2;
        v.b.x=v.a.x+(v.a.y-a.y);
        v.b.y=v.a.y-(v.a.x-a.x);
        return intersection(u,v);
    }

style="font-family: 华文楷体; font-size: x-large;">三.求三角形内心

        由于内心到各边距离就是半径r,可以把三角形分成三部分,再根据海伦公式得到半径r=2*S/(a+b+c)。

        style="font-family: 华文楷体; font-size: x-large;">内切圆心坐标(x,y): 三角形三个顶点的坐标:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)则圆心为x=(x1*BC+x2*CA+x3*AB)/(AB+BC+CA)、y=(y1*BC+y2*CA+y3*AB)/(AB+BC+CA)。

        证明:内心是角平分线的交点,到三边距离相等.
  设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c,内心为M (X,Y)则有aMA+bMB+cMC=0(三个向量) ,MA=(X1-X,Y1-Y) ,MB=(X2-X,Y2-Y) ,MC=(X3-X,Y3-Y)
  则:a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0,a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0
  ∴X=(aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),Y=(aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)
  ∴M((aX1+bX2+cX3)/(a+b+c),(aY1+bY2+cY3)/(a+b+c))。

  

已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 则aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量) 


证明:设三角形ABC,AD为BC边上的角平分线,内心为O。

|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c

aOA+bOB+cOC

=aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)

=(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)

设BC的方向向量e,则DB=e|DB|,DC=-e|DC|

又由角平分线定理,|DB|/|DC|=c/b,所以bDB+cDC=0

(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)OA- b DA- c DA =aOA+(b+c)OD

又因为OA、OD反向,用角平分线定理和合比定理:

b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=OA/OD,

所以OA/OD=(b+c)/a , 又因为OA、OD反向,

故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD =0.

伟德体育官方网站 ,2、射影定理(欧几里得定理)

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:1的两部分

三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点

2.三角形的表示

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

注意:

7、三角形的三条高线交于一点

(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;

8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足为L,则AH=2OL

(2)三角形是一个封闭的图形;

9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线(欧拉线)上。

(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,

3.三角形的分类

11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上

(1)按边分类:

12、库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)

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圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

(2)按角分类

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s,s为三角形周长的一半

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14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

4.三角形的主要线段的定义

15、中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

(1)三角形的中线(在中文中,中有中间的意思而在这里就是边上的中线)

16、斯图尔特定理:P将三角形ABC的边BC内分成m:n,则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段。

17、波罗摩及多定理:圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD

表示法:①AD是△ABC的BC上的中线.

18、阿波罗尼斯定理:到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

②BD=DC=BC.

19、托勒密定理:设四边形ABCD内接于圆,则有AB×CD+AD×BC=AC×BD

注意:①三角形的中线是线段;

20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形,

②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点(注:这点叫重心:当我们用一条线穿过重心的时候,三角形不会乱晃)

21、爱尔可斯定理1:若△ABC和△DEF都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。

③中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

22、爱尔可斯定理2:若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

(2)三角形的角平分线

23、梅涅劳斯定理:设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1

三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段

24、梅涅劳斯定理的逆定理:(略)

表示法:①AD是△ABC的∠BAC的平分线.

25、梅涅劳斯定理的应用定理1:设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R,、∠B的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线。

②∠1=∠2=∠BAC.

26、梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线

注意:①三角形的角平分线是线段;

27、塞瓦定理:设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R,则BPPC×CQQA×ARRB()=1.

②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点;(注:这一点角三角形的内心。角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边距离相等)

28、塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中心M

③用量角器画三角形的角平分线。

29、塞瓦定理的逆定理:(略)

(3)三角形的高

30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.

31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点。

表示法:①AD是△ABC的BC上的高线

32、西摩松定理:从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,(这条直线叫西摩松线)

②AD⊥BC于D

33、西摩松定理的逆定理:(略)

③∠ADB=∠ADC=90°.

34、史坦纳定理:设△ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

注意:①三角形的高是线段;

35、史坦纳定理的应用定理:△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。

②锐角三角形三条高全在三角形的内部,直角三角形有两条高是边,钝角三角形有两条高在形外;(三角形三条高所在直线交于一点.这点叫垂心)

36、波朗杰、腾下定理:设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R,则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏)。

③由于三角形有三条高线,所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样)

37、波朗杰、腾下定理推论1:设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点,若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点,则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

5.三角形的主要线段的表示法

38、波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中,三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

三角形的角平分线的表示法:

39、波朗杰、腾下定理推论3:考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线,如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦,则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点

如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示:

40、波朗杰、腾下定理推论4:从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线,设垂足分别是D、E、F,且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N,则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上,这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

① AD是DABC的角平分线;

41、关于西摩松线的定理1:△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上。

② AD平分ÐBAC,交BC于D;

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理):在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点。

③如果AD是DABC的角平分线,那么ÐBAD=ÐDAC=ÐBAC.

43、卡诺定理:通过△ABC的外接圆的一点P,引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF,与三边的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线。

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44、奥倍尔定理:通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N,在△ABC的外接圆取一点P,则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线

(图1)

45、清宫定理:设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点,P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线

(2)三角形的中线表示法:

46、他拿定理:设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点,点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F,则D、E、F三点共线。(反点:P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点,如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)

如图1,根据具体情况使用以下任意一种方式表示:

47、朗古来定理:在同一圆同上有A1B1C1D14点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线,再从P向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上。

①AE是DABC的中线;

48、九点圆定理:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆。

②AE是DABC中BC边上的中线;

49、一个圆周上有n个点,从其中任意n-1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

③如果AE是DABC的中线,那么BE=EC=BC.

50、康托尔定理1:一个圆周上有n个点,从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

(3)三角线的高的表示法:

51、康托尔定理2:一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点,则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。

如图2,根据具体情况,使用以下任意一种方式表示:

52、康托尔定理3:一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点,则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

①AM是DABC的高;

53、康托尔定理4:一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点,则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

②AM是DABC中BC边上的高;

54、费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

③如果AM是DABC中BC边上高,那么AM^BC,垂足是E;

55、莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

④如果AM是DABC中BC边上的高,那么ÐAMB=ÐAMC=90°.

56、牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

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57、牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线。

在画三角形的三条角平分线,三条中线,三条高时应注意:

58、笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。

(1)如图3,三角形三条角平分线交于一点,交点都在三角形内部.

59、笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。

(2)如图4,三角形的三条中线交点一点,交点都在三角形内部.

60、布利安松定理:连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F,则这三线共点。

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60、巴斯加定理:圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线

图3 图4

如图5,6,7,三角形的三条高交于一点,锐角三角形的三条高的交点在三角形内部,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.

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图5 图6 图7

6.三角形的三边关系

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意:(1)三边关系的依据是:两点之间线段是短;

(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.

7.三角形的角与角之间的关系

(1)三角形三个内角的和等于180°;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

8.三角形的内角和定理

定理:三角形的内角和等于180°.

推论:直角三角形的两个锐角互余。

推理过程:

(1)作CM∥AB,则∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=180度,

即∠A+∠B+∠ACB=180度.

(2)作MN∥BC,则∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3=180度

即∠BAC+∠B+∠C=180度.

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注意:

(1)证明的思路很多,基本思想是组成平角.

(2)应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角.

9.三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.

注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角.(所以一般我们只研究一个)

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.

所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处

只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.

10.三角形外角的性质

(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和.

(2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角.

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注意:(1)它不相邻的内角不容忽视;

(1)作CM∥AB由于B、C、D共线

∴∠A=∠1,∠B=∠2.

即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

11.三角形的稳定性

三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性。

注意:(1)三角形具有稳定性;

(2)四边形没有稳定性.

关于三角形会经常遇到的题型:

适当添加辅助线,寻找基本图形。

(1)基本图形一,如图8,在ABC中,AB=AC,B,A,D成一条直线,则∠DAC=2∠B=2∠C或∠B=∠C=∠DAC.

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图8

(2)基本图形二,如图9,如果CO是∠AOB的角平分线,DE∥OB交OA,OC于D,E,那么DOE是等腰三角形,DO=DE.当几何问题的条件和结论中,或在推理过程中出现有角平分线,平行线,等腰三角形三个条件中的两个时,就应找出这个基本图形,并立即推证出第三个作为结论.即:角平分线+平行线→等腰三角形.

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图9

(3)基本图形三,如图10,如果BD是ÐABC的角平分线,M是AB上一点,MN^BD,且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN,即DBMN是等腰三角形,且MP=NP,即:角平分线+垂线→等腰三角形.

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当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时,就应找出这个基本图形,如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整,如图11,图12。

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12.多边形

在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。

(1)多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。

(2)正多边形

各边相等,各角都相等的多边形叫做正多边形

(3)多边形的内角和为(n-2)*180度

多边形的外角和为 360度

注:当求角度时应该想起 内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角

13.密铺

所谓“密铺”,就是指任何一种图形,如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上,这种铺法就叫做“密铺”。

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺,又称做平面图形的镶嵌。

可单独密铺的图形

①所有三角形与四边形均可以单独密铺。

②正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。  

③对边平行的六边形可以单独密铺。

平面上有:完全相同的三角形、四边形能密铺(或三角形与四边形组合)、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。

(利用内角和的知识来计算,如:任意三角形内角180,则三个相同的任意三角形即可形成∠180,六个就可以密铺;同理,四边形内角360,四个就可以密铺;正多边形的顶角的整数倍等于180或360)

曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球(足球就是)。

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